Математика в кристаллах

… форма кристаллов обнаруживает правильные геометрические модели – например, кристалл обыкновенной поваренной соли представляет собой куб. Однако мысль о связи кристаллов с математикой одно время считалась спорной. Вместо того чтобы размышлять о правильностях формы кристаллов, ученые пытались ответить на вопрос: являются ли эти правильности реальными или иллюзорными?..

… Формы кристаллов, найденных в природе, обычно менее правильны, чем выращенных в лаборатории. Знания относительно кристаллов развивались довольно медленно, пока в XVIII веке немецкий геолог Абрахам Вернер не разработал систему классификации минералов, … которая позволяла определить в общих чертах минерал по цвету, твердости, плотности и т.п.

Как только минералоги смогли уверенно определять, что два на вид разных образца по существу являются – или не являются – одним и тем же минералом, стало возможным искать модели. Скоро они отчетливо обнаружились в виде постоянства углов между плоскими гранями кристаллов. Все кристаллы данного минерала, как бы повреждены или искажены они не были, обнаруживают один и тот же характерный набор углов. Больше того – такой же набор часто проявляется и в других минералах. Ученые смогли измерять углы, получать числовые показатели и искать лежавшие в основе их строения причины. Строение снежинки – сплошные углы: всюду углы 60 и 120 градусов. Почему?

Занятые поисками моделей математики начали исследовать новую территорию еще до того, как можно было определенно утверждать ее существование. За Кеплером последовал английский ученый Роберт Гук, чья опубликованная в 1665 году «Микрография» включала рисунки, изображавшие, каким образом наборы плотно уложенных кругов и сфер как бы повторяли кристаллические формы. Примерно столетие спустя минеролог-любитель монах Рене Жюст Гаюи заметил, что когда разрушается кристалл известкового шпата, он всегда распадается на части, напоминающие перекошенные ящики, и предложил заменить шары Кеплера и Гука на предметы, имеющие в общем такие очертания. Кристаллографы прилагали огромные усилия, дабы раскрыть природу основных блоков, из которых строятся кристаллы, но встретились с трудностями, так как эти казавшиеся блоками части на деле оказались исчезающими и малыми.

Выход из тупика нашли математики, решившие не утруждать себя догадками касательно строительных блоков, а вместо этого обратить внимание на их расположение. Оказалось, что они расположены правильными решетками – пространственными моделями, в которых основная единица повторяется в трех основных направлениях… Такой подход позволил классифицировать возможные симметрии кристаллов, что значительно позднее привело к решению проблемы, все время волновавшей кристаллографов: какова природа блоков, из которых строятся кристаллы? Оказалось, что это атомы, частицы материи настолько малые, что до совсем недавнего времени они были невидимы даже в самые мощные микроскопы. Таков один из достойных восхищения пример того, как представители чистой математики способствовали серьезному прорыву в области физики.

(с) Йен Стюарт, «Какой формы снежинка»